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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 >Vz_|i$%  
7H`>y]  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. , \#z!  
>N'`tjh  
　　1、三角函数本质： TlKF~(iM~  
D]S Z3|  
　　三角函数的本质来源于定义 ]#t^Q3  
9Fnl)4%N  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 )nl&i   
W{.~s-lc  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 lt{RFc\3#h  
Z1+K'F'1  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 5JJ>[&?rM  
4 boTt,m  
　　推导： rMj)\  
`(u[]:1  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 OFLIY HT/  
fLH }k7  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) _cG&P~aC  
.B<0M/}z!  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) g'XH^Gvd^  
\f+29Oevn  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 LCZ"@165\  
4{DW:e.N  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Kv^HEi'T\G  
.i~,w _Yo  
　　[1] CTVZ-XH7(  
y4Y/n@x>4:  
　　两角和公式 oryiCcrc};  
ZQ!}S6(Z(Y  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB  KgU7m3  
$6#?x2:/  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  {L|1mt>  
zER[yUIu*  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB + lIL*h  
jrL3\DY  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 8<pb6w0J  
NS#-|9z  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Z) 0Cu0Dl  
wt>$b=c  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 9tF|R-\\>  
O= Nlf  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  y5Ii.yr  
#cD2lKXu  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 3ChL!l  
@L^hI   
倍角公式 jw*6PtM=  
`7rnDK,  
　　Sin2A=2SinA•CosA < 2 FOc  
LY8%n8c<  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 B88~x(  
1OgCyx>  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Q,n)T6j  
)<kcrAgk  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 5HrZJL|  
#yUTZ)5  
三倍角公式 CaM!Is]F  
0])|7;$b  
　　 - v$\e1  
-} 0&FkW  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) PRH s3  
]&|<g"Xg  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 'bHLlk.  
_fzI%c/\  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) nR%wPp?uW  
- M)O<T6  
三倍角公式推导 {kM1BB w  
FworQ*d&i  
　　sin3a y? I)j  
<FvE}at  
　　=sin(2a+a)  h /Y~  
4ag Jvn>  
　　=sin2acosa+cos2asina y @q{o$9h  
Psq@hNdh]w  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina uB1Fg.e<  
Vn:z~8}  
　　=3sina-4sin³a ! s,h=  
Vj04NB`  
　　cos3a %ziCsN  
)I(VT! q<k  
　　=cos(2a+a) H.8$iNQ`b  
#eG?SK1^X  
　　=cos2acosa-sin2asina ;;WbqLTe?  
#/ 2   
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa t_f-HqG  
1Zju <  
　　=4cos³a-3cosa !F 7V\VT C  
9W+VVt:o;f  
　　sin3a=3sina-4sin³a YG~% %p  
\+o A/yyN  
　　=4sina(3/4-sin²a) *Qrt.ItK  
za+Bn/  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] x5B#a>a  
6q7CD;HV  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) RA5pK.  
.BU@ YN  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) F}^!6eU`d  
)c]^B P  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Lb2^c  
gHl,rr\+  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 6_"eAk}1q  
zX8,h9PUA  
　　cos3a=4cos³a-3cosa <t+hXQ+  
!sQ_8k@K  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ,26Y ?_+S2  
:tk C7k# #  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] {@yVob!D  
X]4MfRL  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) whKQ%  
5I{-Wxm  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 1w" \toy*o  
1P%)h|xmHV  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} d#yttt K4U  
&a261-U  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) (#l" ]AW  
iL U>xT  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] R43k?&,  
"~5Wu9Qw  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] M9<V4z&G  
=NbU+p`  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) uX0p_&7YB  
k8G!$tPI  
　　上述两式相比可得 Z,ZM$s>}  
eH8&wu(  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) l] M  
.X7| ->:_  
半角公式 pE"5+-9  
UP*8Ji9 ]  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ,Q90F:D@  
R+kP$ob;  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. /`="9b#pK  
p[N pmb(  
和差化积 --2 )bJ4d  
(2!~~FX  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] jm$jro$,A  
= 9'Tiv7l  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 1JL'@zmco  
,Lx.`<EFb  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] F&. I{m=9  
H2n99XY+Z  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] EEMmGFt='  
J0=%I^.&  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) = fI4h!\W  
cF~5^8z'E  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) x$U+7.9id  
vv0u#}w  
积化和差 eU/ 7"<  
b,D2r,91>N  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] jQ>f[Zgrx  
?y71Ajj  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ({:JNV  
US,5BM[  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 5w0%lr_9  
%;}eT>K|  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] @5ALPG6I#  
A@ cKGn82  
诱导公式 PQ^O [  
vhzF5h5gH  
　　sin(-α) = -sinα O-zP n4  
Hrl^ S%}A  
　　cos(-α) = cosα Pl T~ Kth  
MW^8I d  
　　sin(π/2-α) = cosα < ;kd )U  
64x^  
　　cos(π/2-α) = sinα 040"?F*  
Eo0EjF   
　　sin(π/2+α) = cosα yG;NHZrm  
s&)hS*2HL  
　　cos(π/2+α) = -sinα LG'71aN  
by7Q8Tx[  
　　sin(π-α) = sinα `?,~NCH4  
RH.Oug$[W  
　　cos(π-α) = -cosα 4qy\8c@  
.<8JI  
　　sin(π+α) = -sinα )0s+$7-`  
c]kMkH >+  
　　cos(π+α) = -cosα y?O(JI$|  
@s +hs69/  
　　tanA= sinA/cosA j>842*  
3 fm.5mB  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα m>4 o^A.X  
5]p 5  
　　tan（π/2－α）＝cotα QMKO`/r  
5b,Bo3ou%  
　　tan（π－α）＝－tanα n"@3zIe  
4-8("WP  
　　tan（π＋α）＝tanα azob(y  
%* $Z[ }  
万能公式 ~DrR \4T  
[^C2w',{  
　　  kw7GSd;4  
V|uMRkH&  
其它公式 ;7{z0M  
3flgI(3C  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 C"Y >V~m  
6z' &M~*lf  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ghl|Qa]  
,z$^Be6X  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 (9C?OTG3  
` )~U 9c  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 J#u+PLR\k  
~z*%rec]  
　　对于任意非直角三角形,总有 Aq6z\(R6l  
A{7w'r(   
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC =}3XL)et@  
\D(Mn`} %  
　　证: {Br(,!{9%  
]$i#\=  
　　A+B=π-C cn ? @s{5  
L*k*mfF  
　　tan(A+B)=tan(π-C) qwOQ Zq/5  
[@ B f.  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) *B~qo5  
X$B>I1a  
　　整理可得 a!b!2u  
!q/Hh"}eD  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $(dq/'  
vKvX /E]  
　　得证 77UJt_vaq  
3QaqLUmOa  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 i%T8,4  
l1{'&{N  
其他非重点三角函数 uYpuV 2oy  
D>\,QjkKg  
　　csc(a) = 1/sin(a) {AJ/*7Sz^  
JU1"9S\ZK  
　　sec(a) = 1/cos(a) E2.N  
};%`<+t  
　　 Y2'wKz  
3i;.RZElC  
双曲函数 !K@n] t o  
*^o +skS`  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Q#!cb T]  
@>}|t   
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 rmq$YUT5  
aR1XETIxD  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) AG%w9Q  
\ w/:'eX)#  
　　公式一： _}rHx%dK~v  
aBiZhBnc  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： a:D.szXID  
0fsM=-b-:  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Eqn(Ud  
8t[NDGeAj  
　　cos（2kπ＋α）= cosα E"$LOyO  
@!AjP@8@  
　　tan（kπ＋α）= tanα /= A:g}Z  
7gdL8t#F=u  
　　cot（kπ＋α）= cotα bS=*B`)  
R0<qhol ml  
　　公式二： Bjv3 5_  
sH!'#H(/  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： &`-sf>.[f  
'R-ju2-,[e  
　　sin（π＋α）= -sinα "nZ=l|CB  
z-z{d/$";  
　　cos（π＋α）= -cosα +k /M 7o  
E#o\HLy  
　　tan（π＋α）= tanα LR2{#I)  
<5Dso#C%h  
　　cot（π＋α）= cotα oGPK  
X(ua3[  
　　公式三： 8xe\wDx4q=  
/!$-ctD9  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Gi:MIy  
)X0vGXGy_  
　　sin（-α）= -sinα wS-_ O w  
u)q"Y?Z,  
　　cos（-α）= cosα WE_|b}|  
:/lm q  
　　tan（-α）= -tanα IABF}xzaAk  
j{O0CiTh`  
　　cot（-α）= -cotα 'U#A0zN,  
49Id_"M&  
　　公式四： GUM[ ' t  
&fP{=`LN6  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： PPk,Z`9  
i}$oPKv2Y  
　　sin（π-α）= sinα F :OkF%%  
Zv.&)}B3 d  
　　cos（π-α）= -cosα =|xE88;ay  
8^W|ZAY`  
　　tan（π-α）= -tanα O]Hp" w81  
) U$xha  
　　cot（π-α）= -cotα yQ@w4@  
==gU&\ZHM5  
　　公式五： h*G(x3 W;  
f1=9 c  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： zc5~ .x  
)wB6GnZF!S  
　　sin（2π-α）= -sinα 8TgZ%p  
!+, p@'  
　　cos（2π-α）= cosα :+4 Q}S  
;4N6z/=  
　　tan（2π-α）= -tanα '0aAJn>( t  
IC|@i F  
　　cot（2π-α）= -cotα fX+q!?>kI  
;;!NSj? D  
　　公式六： 4e%!ne@,  
h2vLx~h  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ?jzF ]]-.  
Vcd<F+  
　　sin（π/2+α）= cosα m>H7l 7M  
9m&5Y>:  
　　cos（π/2+α）= -sinα *FM|"K  
?= RwJ 7Z  
　　tan（π/2+α）= -cotα z<'\5o  
bf YjO  
　　cot（π/2+α）= -tanα lKv|3-x+  
i`XXa&=  
　　sin（π/2-α）= cosα Y@y? tA1 B  
b \{\<`  
　　cos（π/2-α）= sinα 5p?>N(LB  
!79,$[Fr@S  
　　tan（π/2-α）= cotα y 3?o* '  
u_l?B#  
　　cot（π/2-α）= tanα G Shww  
rO5ul. r%  
　　sin（3π/2+α）= -cosα sXj&:hh&-  
4=GNT0y  
　　cos（3π/2+α）= sinα eFUA(yRC  
]w*8vvL  
　　tan（3π/2+α）= -cotα C4>cOK  
_ud8ez  
　　cot（3π/2+α）= -tanα _lC{7%]  
:N|>y_I B  
　　sin（3π/2-α）= -cosα #EJ::!SZ/  
0O|HsZ o  
　　cos（3π/2-α）= -sinα q2hTdcu  
-g+q5*?  
　　tan（3π/2-α）= cotα ]g|ImV4kg  
J9Q 5%oq  
　　cot（3π/2-α）= tanα b?cu*&LB  
uj\8el  
　　(以上k∈Z) ;IEF>_{f)  
>[%T250#  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 UzHYmX  
j/G[H#W*5  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 5P{\H{~L  
f?RTs[  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } :4uw(<D6  
x[RUd0F  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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