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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 SZ(c#  
8uW|KT  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. k+edVA-V4s  
8pJ5*eN  
　　1、三角函数本质： AC%CmZ 2  
JO=`?p  
　　三角函数的本质来源于定义 d/'$1Gq  
.B#<7N  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 E#!]|$w^S\  
,bWmaz gV  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 [,RpK  
B1Sx;w&  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ;Cw!U >  
p<Hu\ U;  
　　推导： )!+g!|+<  
wgc&"ly  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 A-^ au0s  
f3# a8VgJ  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) iy+;\k  
<Fg z  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) DE\i('=  
DF4P  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 e_ CaqSc  
&bm" +  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） cjzs<.  
at^noxW  
　　[1] {eG$f X  
=5q3 *3>  
　　两角和公式 y4Fcc K  
 StRhn#  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB O ,85"qe1  
5O6Su<00a  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  pAXmW X#B  
TDR&.Z2  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB s[ ]0cBrDU  
\.5Q3l.j  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB OZLQNEB  
eo8(*,l*0  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) I F yY ku  
c67 -Q<X  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) EC=J6X2t  
]=ya>*<r  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  0J w @  
/X:W~t6{^  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) #;qSH9eUe  
"$ DBDb  
倍角公式 wZ<+80mW?  
vL`bJv4d7  
　　Sin2A=2SinA•CosA L*tPB  
!3Fj-Gl  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ycA~$-WkM  
!mzQHoq  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） {i~ qK  
{=YzAH  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 5^/POgm%  
X7NDi$d3  
三倍角公式 (UM i(X  
Q@<N`J_wN  
　　 )=/yPHu  
6e;41`qu  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 8dl.F[?  
*"QsdX'  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) L1{_/MG^g  
85@ ;\4  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) o{/oOshV  
;Q\_V;H2  
三倍角公式推导 B%e]J8OQT  
O>y&dYg  
　　sin3a nxHUxfyz  
1MEq81$i\  
　　=sin(2a+a) #[+c\{` C  
WeBp} Yuu7  
　　=sin2acosa+cos2asina gl;DY0M  
w*MmBGh1y  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina # &$uP|m  
q"_{Cw8  
　　=3sina-4sin³a Iw&X~"@v  
(BZj#fXa  
　　cos3a RrY[IjB  
_y-h|4]Ui  
　　=cos(2a+a) 0ep=Xfn{Y  
X}h9iw-  
　　=cos2acosa-sin2asina kFStOY B`  
:|yyw&Abv  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa +*6 44yI  
n/i\0QI  
　　=4cos³a-3cosa gx$ac7D  
x(uHzAV  
　　sin3a=3sina-4sin³a 3i :9v m  
L++w-E7  
　　=4sina(3/4-sin²a) :JWt 2Jb  
s.bpnT>,  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a]  1&vh{  
PIZYy)4/  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) `h b{  
?JqABEG$V  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) <r_I +i  
nCgs.a_`  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ^\_o 8,U)  
lod'rIq  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) gfm@tf!I$  
,U9;NuRGF  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 12;!+j@  
pa _ RL2  
　　=4cosa(cos²a-3/4) w{98>!X!  
_aeruM1  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] q8.YgBhwi  
}-<w>\ hI  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) FJQF^)&H  
js!|vyk  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) X?1~bp=+  
~(cGwXO'Vs  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} M)WAe *  
tL76s)  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) G3:<St4  
46A(Z}5X  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] t, 6Y@(-Sw  
x<HO)Y<Eo0  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] bYg%djOl  
^!B-TKu~  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) KQadv["  
[:W286  
　　上述两式相比可得 /N[\<3[  
gbOQT(&4  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ^W+HHm)a  
s@(g/"uq q  
半角公式 RK Fh>7  
 m'blY  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); $x7@wdi  
/lMB5[S  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Ok@NFapAS'  
sA< bd:B  
和差化积 '8YYJZ ]@  
|AP R7g  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] /C$dy38l  
<0-m#,*w  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] S@HDl-  
W8^ L9n  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] VMQr|9lz  
E G',:{  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ,M7 y}1/w  
`w"=F_(:  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) bN[My}=  
!&e`RN  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) BD#v,`i  
8W1sS  
积化和差 71Z)ZSwJ/  
} P2p '  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] }pOD)"*#m  
tA W7 b'  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] &v}W!  
bVMmsh   
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] $B31|KE~]  
e~8tnSb*-  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] uI!z(2T  
ycR(Q~<%  
诱导公式 ,%umcq ?H  
Nd'6by2G  
　　sin(-α) = -sinα E"y 6<%'8n  
a p!f{R5P  
　　cos(-α) = cosα Kd)1 ZZ2  
hsJ":D2E'  
　　sin(π/2-α) = cosα i tDP`7W  
3$`pMiij  
　　cos(π/2-α) = sinα H#Z` P  
IOZY`C0zO  
　　sin(π/2+α) = cosα T(/_e]AT  
>O]3t~c%  
　　cos(π/2+α) = -sinα "CL- }aL  
'blEEj(s  
　　sin(π-α) = sinα ,,J<c :;qO  
L%X"t-Bf  
　　cos(π-α) = -cosα ;v}<t{j\p  
W(=.!Qr4  
　　sin(π+α) = -sinα 5 p 1h  
U& PZ"f-%  
　　cos(π+α) = -cosα 'Y7NIYKz#  
g_6mMPn"T  
　　tanA= sinA/cosA ;I'YhT5P  
8xc '?qj  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα < H@jez  
u-k k_Zm  
　　tan（π/2－α）＝cotα *Kjaf"*A$  
QrU }+9  
　　tan（π－α）＝－tanα UU0vW  
M;oFbphZ  
　　tan（π＋α）＝tanα - RTf  
; Z,g}%  
万能公式 *`L# (@`  
-+A*O(o'  
　　 ? H3Mj   
+?{mW  
其它公式 (wsi`x<  
H:ux(ldk  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 f !y /y   
F[CB&+2ff  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ^ ]T:[n  
U2 K5O=4  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 )5vA|  
U+`W_i*:0  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 /Z ~ou*}  
iS@a9@  
　　对于任意非直角三角形,总有 1rXnX\xY/  
JbgiE{%:`$  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Q-&T.WVt  
aCErIE|  
　　证: ~YAi!B*F  
o$";",m>  
　　A+B=π-C ?CDX%=;l  
=f<1!~U  
　　tan(A+B)=tan(π-C) uwG^p|  
c}r 0 a)  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) {nd\</#?  
cT+-b7$~,  
　　整理可得 +Z<e)&  
/b"8u,>  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC wdibJQ  
#m\rV-!   
　　得证 ;|(k*Yzq  
+Q,;ZH J  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 18ge 9  
QYL, WI  
其他非重点三角函数 [1nV >lWr  
JoLz^*v5O  
　　csc(a) = 1/sin(a) fi;~4O  
-k^_ "  
　　sec(a) = 1/cos(a) _[O{#r$+"l  
rtd6Q&L  
　　 0 1S${SF  
@^_"_"p=  
双曲函数 Mdd?ABi:c.  
Mqi; L)  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 > >2yNuO  
lK!O$U   
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 @b2jy[w:  
/: qS'OD\  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Qejd/IFl-%  
8X9Zq-RS T  
　　公式一： HHyO A)2  
: [ ~nA  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： &V <'z%  
0===e!qi  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ]l$;&VQ  
."9<mCx7(0  
　　cos（2kπ＋α）= cosα |;~PhN~ho  
TWNG 8\  
　　tan（kπ＋α）= tanα `#R/!*?W  
~Tgtdfn6(~  
　　cot（kπ＋α）= cotα '.|Ga@Cfz  
YV.jj#"ka  
　　公式二： B"%N...  
:de{=b|{m  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： p7fW.Yv7_P  
n V J,+  
　　sin（π＋α）= -sinα 2J=9)+k  
yM^'0,c  
　　cos（π＋α）= -cosα y^>x$eG&  
(vIDMow^  
　　tan（π＋α）= tanα s'P:y>S  
$R"(#rKA}  
　　cot（π＋α）= cotα .xlP8.5  
&W)? k{)&  
　　公式三： Hnx}e?3)m  
SPCRVG ~U-  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： F8lz'iU)  
EW"/9+$\f@  
　　sin（-α）= -sinα 87qj59)  
zf.X+M  
　　cos（-α）= cosα ^v)F9  
^UHB4ogn1  
　　tan（-α）= -tanα E|jR1;FH  
 >]6:j  
　　cot（-α）= -cotα n~wo>8iu'  
yh1Z:1<  
　　公式四： i_EOZ:  
D/+7\]Ia  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Yk!`4:Vv3  
Tvp0M9  
　　sin（π-α）= sinα i(K3CCF89b  
>\k:3Eh  
　　cos（π-α）= -cosα ]T(=iNAa(  
/]:T_:g)  
　　tan（π-α）= -tanα $O@9<ze3d{  
qC#sS9X@  
　　cot（π-α）= -cotα s1 It  
plpilS?+  
　　公式五： 2[i '6er  
xUeth=U  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ep u'`3^  
Z'oWoOsa8  
　　sin（2π-α）= -sinα `^!j$;'m  
h<PxP}RO6v  
　　cos（2π-α）= cosα BoKD2_R t?  
GF/]0h;  
　　tan（2π-α）= -tanα bp'} "GeF  
>_7J" lo  
　　cot（2π-α）= -cotα Ji4PX]"  
uBP"lQk  
　　公式六： J!q8t0  
Dd_.!REp  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： cG] <%.wu!  
;)8#M`3  
　　sin（π/2+α）= cosα h+Jb{}9k*  
}"rp8eDd  
　　cos（π/2+α）= -sinα InV- R6M  
;XFB @kE  
　　tan（π/2+α）= -cotα 2LH]ip#&N  
v+K9^w_/  
　　cot（π/2+α）= -tanα Se UyN&&  
4NV<_  
　　sin（π/2-α）= cosα ,%\hsv|P:  
hL#HHKq  
　　cos（π/2-α）= sinα E0[ d["  
"4Jl$:\n}  
　　tan（π/2-α）= cotα d[-Xr!u  
O^|2bl@d-  
　　cot（π/2-α）= tanα BLZ&2  
zSj_5 mu  
　　sin（3π/2+α）= -cosα VcmmaK<PG  
+cq #S|x  
　　cos（3π/2+α）= sinα "Mk5AJR85b  
J8*2x:d  
　　tan（3π/2+α）= -cotα r^Y d  
fNKOa<N8l  
　　cot（3π/2+α）= -tanα R15<oJL  
wC3f jP  
　　sin（3π/2-α）= -cosα J,95ul %d  
@M b99w  
　　cos（3π/2-α）= -sinα IRE>~5ui  
4T/ RVh"  
　　tan（3π/2-α）= cotα P {nn|3 T  
}/b%@xZ  
　　cot（3π/2-α）= tanα L85gX`  
/y_>$"8  
　　(以上k∈Z) {efrfl1  
[4?x^h/i^  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 yX_,et \i  
kl*o)  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = d@a^9;[&  
/D5#K2Ww  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Np[nfEQWL  
_6,f*`g;#  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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